Loi de Poisson et comptage de particules en chambre de numération

Ce que disent les mathématiques :

Soit une population constituée de 2 catégories A et B d'individus dans des proportions p et q respectivement (p+q=1). On prélève dans la population un échantillon de taille n. Soit k le nombre d'individus présentant le caractère A. L'entier k est enfait l'observation d'une variable aléatoire X. X suit la loi binomiale de paramètres n et p (et c'est compliqué de travailler des calculs avec la loi binomiale !). Mais si n≥100 et si p est voisin de 0 (0≤p<0.1) alors X est assimilable à une variable de Poisson (et les calculs deviennent plus faciles !).

Quel rapport avec des particules en suspension dans un milieu homogénéisé ?

Prenons un exemple :

Imaginons des particules de (10*10*10) µm3 en suspension. Et faisons l'expérience de pensée suivante : le milieu est assimilable à une série de petits volumes unitaires de 1000 µm3 répartis au hasard et tels que certains sont du solvant (l'individu mathématique B) et d'autres une particule (l'individu mathématique A). Avec une proportion p de A et q de B.

Prélevons 1 µL. Comme 1 µL = 10-9 m3 et 1000 µm3 = 1.10-15 m3, nous avons l'équivalent d'un tirage de n = 10-9 / 1.10-15 = 1.106.

Admettons que la concentration en particules soit aux alentours de 200/µL. Cela signifie que p=200/1.106 = 0,0002

On a n= 1.106 > 100 et p=0,0002 <0,1 , on est bien dans le cadre d'application d'une loi de Poisson

Un tableau d'analyse.

Hypothèses Calculé  
dimension
des particules		 volume échantillon
mis en oeuvre (V)		 nombre de particules
attendues dans (V)		 n
"calculé"		 p
"calculé"		 conclusion
(10*10*10)µm3 0,1 µL 1000 100 000 0,01 Pour les comptages de globules rouges, de levures ..., la loi de Poisson s'applique même aux tous petis volumes comptés avec beaucoup de particules à compter.
(50*50*50)µm3 0,1 µL 100 (106/mL) 800 0.125 Pour un comptage de cellules eucaryotes assez concentrées et avec un petit volume de chambre de numération, on tend à être "hors la loi de Poisson" !
(50*50*50)µm3 1 µL 100 (105/mL) 8000 0.0125 Avec une chambre de numération à 1 µL et en diluant, l'assimilation en loi de Poisson devient très efficace !
(100*100*100)µm3 1 µL 200 (2.105/mL) 1000 0.2 Des particules un peu grosses et un peu chargées. Même avec une chambre à 1 µL, la loi de Poisson est hors jeu !

JF Perrin - 2007 - jef.perrin.free.fr