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Modèle statistique de base concernant les résultats des essais

On va écrire que chaque résultat d'essai (y) obtenu par un laboratoire L_i mettant en oeuvre la méthode M_i sur le matériau mesuré est la somme de 4 composantes :

y = µ + δ + B + e

où

µ est la valeur de la propriété mesurée ;
δ est le biais de la méthode de mesure particulière mise en oeuvre ;
B est la composante laboratoire du biais sous des conditions de répétabilité ;
e est la composante aléatoire (erreur aléatoire) survenant dans chaque mesure sous des conditions de répétabilité.

Ces composantes demandent à être explicitées ! C'est ce que je me propose de faire dans la suite de la page.

1.1. Concernant µ et δ

µ en tant que valeur de la propriété mesurée n'est pas évident. Et µ fait en fait référence à la valeur admise comme vraie pour le résultat. Par exemple µ est connu si on travaille avec un matériau de référence. De la même manière µ sera connu si on travaille en comparaison à une norme fournissant µ par convention acceptée.

Si on travaille dans le cadre d'une étude où tous les résultats (quelque soit le laboratoire participant) sont obtenus par la même méthode de mesure, le biais δ lié à une méthode particulière de mesure n'a plus lieu d'être (il est forcément nul) mais il n'est pas habituel d'utiliser alors le terme µ. On préfère alors remplacer µ par le symbole m. m représente l'espérance (la moyenne générale) des mesures par la méthode (la "meilleure" valeur que donne la méthode).

Conclusion :
Si l'étude met en comparaison des résultats issus de différentes méthodes,
on utilise      y = µ + δ + B + e
Si l'étude met en comparaison des résultats issus d'une unique méthode,
on utilise      y = m + B + e

1.2. Concernant δ et B

δ est donc "tout simplement" le biais de la méthode de mesure M_i.

Pour comprendre la signification de B, composante laboratoire du biais sous conditions de répétabilité, il suffit de signaler que B est réputé fixe durant toute une série d'essais effectués en conditions de répétabilité par le laboratoire L_i (et seulement dans ces conditions là).

Le biais du laboratoire Li lors (à ce momment là) de la réalisation de ses mesures en conditions de répétabilité est Δ = δ + B

Ainsi, le modèle peut aussi être exprimé par y = µ + Δ + e           
où Δ désigne le Le biais du laboratoire L_i lors des mesures.

1.3. Concernant le terme e

Ce terme représente donc l"effet" aléatoire survenant dans chaque mesure sous des conditions de répétabilité (sa valeur moyenne est, par principe, nulle). Le terme e signe le fait que, même en conditions de répétabilité, on n'obtient pas toujours le même résultat (alors qu'on travaille à composante laboratoire de biais, le terme B, figée).

Soit σ_{e_labo.i}² la variance de e pour un laboratoire donné L_i.

Pour une méthode convenablement normalisée, il faut que les σ_{e_labo.i}² des différents laboratoires soient quasi identiques.

Et c'est finalement, cette valeur commune de toutes les variances intralaboratoires qui sera appelée variance de répétabilité.

(σ_{e_labo.i})² # (σ_{e_labo.j})² # moyenne des variances de e pour les différents laboratoires

= (σ_{répétabilité})²

Quand on détermine la variance de répétabilité d'une méthode normalisée, on utilise des critères permettant de valider l'hypothèse d'égalité des variances intralaboratoires et on exclut éventuellement des laboratoires "aberrants".

1.4. Répétabilité et reproductibilité

on a la relation fondamentale :

(σ_{reproductibilité})² = (σ_{répétabilité})² + (σ_{interlaboratoire})²

où (σ_{interlaboratoire})² désigne la variance de B (dans B, il y a les variabilités entre opérateurs et entre équipements).

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