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Loi de Poisson et dénombrements microbiologiues sur milieu solide avec détermination d'UFC (unités formant colonies)

1. Le modèle a piori : loi de Poisson

La distribution de Poisson est la loi de probabilité décrivant a priori les comptes d'UFC. Si les microorganismes pouvant donner lieu à la formation de colonies sur le milieu de culture utilisé sont des individus distribués de façon aléatoire dans l'échantillon concerné par le comptage des UFC après culture. Et si ces "individus" n'exercent aucun effet de réglage de position les uns par rapport aux autres. Alors on s'attend à une distribution de Poisson pour des comptes d'UFC répétés.

>Soit P(n) la probabilité de trouver n UFC après culture :

P(n)= (mn e-m)/ n!    avec m moyenne des comptes ; La variance est alors m.

La distribution de Poisson est la distribution "idéale", "théorique" pour l'échantillon parfaitement homogène au sens statistique du terme.

2. Additivité

Lors des dénombrements classiques d'UFC en microbiologie , on compte en général 4 boîtes de culture : 2 boîtes inoculés avec un volume v (1 mL en général) de l'échantillon finalement compté et 2 boîtes inoculées avec le même volume v d'une dilution au 1/10 de cet échantillon finalement compté.

Exemple. L'essai à mesurer est d'abord dilué à 10-3. 2 boîtes de cette dilution ont été ensemencées avec 1 mL et ont donné 40 et 49 UFC. 2 boîtes d'une dilution supplémentaire au 1/10 ont été ensemencées avec 1 mL et ont donné 3 et 7 UFC. On compte finalement 40 + 49 + 3 + 7 = 93 UFC pour un volume de l'échantillon finalement compté de 1 + 1 + 0,1 + 0,1 = 2,2 mL. Sachant bien évidemment que l'échantillon finalement compté est une dilution à de l'essai 10-3.

Et bien, la loi d'additivité de la distribution de Poisson permet de déclarer que si les comptages ont été réalisés sur des suspensions "parfaitement homogènes" qui suivaient ainsi chacune un modèle de Poisson, la loi de Poisson s'applique à la somme des comptages.

Ainsi, pour l'exemple choisi, 99 UFC serait un résultat obtenu d'une distribution de Poisson. Et comme dans la loi de Poisson la moyenne et la variance sont les mêmes, on peut dire que 99 est une estimation de la variance de cette distribution de Poisson. Ce qui donne un écart-type estimé vers √99 = 9,9 et un coefficient de variation vers 9,9/99 = 10%. Attention, l'écart-type calculé ici n'est qu'une estimation et il ne tient compte que de l'aléa de l'effet "tirage de Poisson". Pour évaluer une incertitude-type sur le dénombrment de l'essai il faudra évaluer l'incertitude-type sur la dilution 10-3, sur les volumes inoculés (en tenant compte de la dilution au 1/10 pour les 2 dernières boîtes comptées), sur la qualité technique de comptage des techniciens qui comptent ... ce qui finalement n'est pas si compliqué (tout ceci est traité par la page "Dénombrement d'UFC. 2 boites à la dilution d puis 2 à la dilution d/10 comptées ...)

3. Ecarts au modèle a priori de Poisson ? L'indice G2

Une dispersion de résultats répétés (sur un matériel à l'identique) supérieure à la dispersion attendue par la loi de Poisson signale en fait une homogénéisation non parfaite, le fait que les pipettes ne sont pas absolument fidèles ... Encore faut-il pouvoir juger d'une sur-dispersion à partir de comptes d'UFC réalisés en parallèle. Pour cela on va utiliser un indice de dispersion G2 et la connaissance de son intervalle statistique de dispersion au niveau de confiance (1-α)(en général 0,95 ou 0,99).


zi : compte de colonies sur la boîte i
vi : volume inoculum (de la suspension finalement comptée) sur la boîte i (en général 1 ou 0,1 mL)
n : nombre de boîtes comptées
Z : somme totale des colonies comptées
V : somme des volumes inoculum (de la suspension finalement comptée) (en général 1 + 1 + 0,1 + 0,1 = 2,2 mL)

Pour des mesures qui suivent une distribution de Poisson, G2 suit une distribution du χ2 avec n-1 degrés de liberté (où n est le nombre de répétitions de la mesure des UFC). n-1 donne donc "la valeur attendue" de G2.

G2 permet aussi d'obtenir une estimation de l'incertitude-type sur le dénombrement tenant compte de l'effet d'aléa de la loi de Poisson et de l'effet d'aléa lié aux distributions de volumes ! Pratique ... L'incertitude-type ucsur le comptage sera estimée à :

En prenant G2 = n-1 (nbre de degrés de liberté) si la valeur calculée de G2 à l'aide des formules données plus haut est inférieure à n-1 ou G2 = valeur calculée de G2 dans le cas contraire.

Reprenons l'exemple précédent :

n=4UFC comptées vi

dilution 10-3
inoc. = 1 mL

40 1 mL

valeurs de χ2 avec 3 degrés de liberté (ddl):
attendue : 3
pour 1-α=0,95 : 7,8
pour 1-α=0,99 : 11,3
Remarque : l'hypothèse d'une dispersion "globale" en loi de Poisson n'est pas rejetée.

49 1 mL

dilution 10-4
inoc. = 1 mL

3 0,1 mL
7 0,1 mL
Sommes 99 2,2 mL
G2 = 2,68

Comme G2 = 2,68 ≤ nbre ddl = 3 , on prendra G2 = 3 pour les calculs d'incertitude-type sinon on aurait pris G2 = 2,68

Le calcul de uc2 est : uc2 = (99/2,2)2 * (3/3)(1/99) = 20,5 soit uc = 4,5 UFC/mL pour la dilution 10-3 qui a été mesurée à 99/2,2 = 45 UFC/mL .

Note 1 : Pour estimer l'incertitude-type totale sur l'essai de départ il faudrait aussi estimer l'incertitude-type sur le facteur de dilution 10-3. Ce qui est simple voir à l'aide de ce lien .

Note 2 : on retrouverait la même valeur pour uc en utilisant directement 99 pour variance puisque comme valeur de G2 on a pris le nombre de degrés de liberté. L'aléa a été globalement assimilé à de l'aléa de Poisson y compris avec les aléas sur les volumes.

Soit un autre exemple :

n=4UFC comptées vi

dilution 10-4
inoc. = 1 mL

61 1 mL

valeurs de χ2 avec 3 degrés de liberté (ddl):
attendue : 3
pour 1-α=0,95 : 7,8
pour 1-α=0,99 : 11,3
Remarque : l'hypothèse d'une dispersion "globale" en loi de Poisson devient discutable!. La manipulation des tubes et pipettes pour délivrer les inoculums et réaliser la dernière dilution du comptage introduit un aléa non loi de Poisson ?

92 1 mL

dilution 10-4
inoc. = 1 mL

3 0,1 mL
11 0,1 mL
Sommes 167 2,2 mL
G2 = 11,3

Comme G2 = 11,3 > nbre ddl = 3 , on prendra G2 = 11,3 pour les calculs d'incertitude-type sinon on aurait pris G2 = 3.

Le calcul de uc2 est : uc2 = (167/2,2)2 * (11,3/3)(1/167) = 130 soit uc = 12 UFC/mL pour la dilution 10-3 qui a été mesurée à 167/2,2 = 76 UFC/mL .

Note : Pour estimer l'incertitude-type totale sur l'essai de départ il faudrait aussi estimer l'incertitude-type sur le facteur de dilution 10-3. Ce qui est simple voir à l'aide de ce lien .


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