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[Sommaire du dossier]

1. Généralités

2. Procédés par lots

3. Procédés continus

4. Taux de conversion, Productivité, Temps de résidence, Fréquence de renouvellement

5. Modélisations

Bibliographie, sitographie

JF Perrin mise à 2021
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4. Taux de conversion, productivité, temps de résidence et fréquence de renouvellement et relation avec le taux de conversion

4.1 Taux de conversion

Soit S₀ la concentration initiale en substrat (dans le lot pour un procédé discontinu ou en entrée de nourrissage pour un procédé continu). Soit S_t la concentration à l'instant t où le taux de conversion est défini (dans le lot pour un procédé discontinu ou en sortie pour un procédé continu). Soit T_x ou X le taux de conversion du substrat :

\( T_x=X=\cfrac {S_0 - S_t}{S_0} \)

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Exemple. Soit un réacteur à lit fixé à béta-fructosidase immobilisée en fonctionnement continu. Soit le réacteur alimenté avec une solution de saccharose à 150,0 g/L. Soit en sortie une concentration mesurée en glucose de 78,0 g/L. Quel est le taux de conversion ?

La réaction catalysée est :
saccharose + H₂O --> glucose + fructose.

Msaccharose = 342,3 g/mol. Mglucose=180,2.

78,0 g/L de glucose en sortie correspondent à (78,0/180,2) mol/L de glucose, soit (78,0/180,2) = 0,433 mol/L de saccharose hydrolysés ("disparus") puisque la réaction est à 1:1 de stoechiométrie. Cette valeur représente ici (S₀ - S_t). La concentration en entrée est de 150,0/342,3 mol/L = 0,438 mol/L. Le taux de conversion est donc T_x = 0,433/0,438 = 0,988 = 98,8%.

\( T_x= \cfrac { \left( \cfrac{78}{180,2} \right) } {\left( \cfrac {150,0}{340,3} \right) } = 0,988 = 98,8\%. \)

Où en raisonnant en "masses" :

\( T_x= \cfrac { \left( \cfrac{78}{180,2} \right) *342,3} {150,0} = 0,988 = 98,8\%. \)

Note. Le taux de conversion varie évidemment entre 0 et 1 (0 à 100%). 1 ne pouvant être obtenu que pour une réaction irréversible qui a pu être conduite à complétude !

4.2 Productivité en produit

On peut calculer différentes productivités. C'est les unités qui guident :

La productivité en produit comme la quantité de produit formé par unité de temps : [masse ou quantité mol]/[temps]

La productivité volumique comme la quantité de produit formé par unité de temps et par unité de volume de bioréaction : [masse ou quantité mol].[temps]^-1[volume]^-1

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Exemple 1. Soit un réacteur à lit fixé à béta-fructosidase immobilisée en fonctionnement continu. Soit le réacteur alimenté avec une solution de saccharose à 150,0 g/L sous un débit de 20 L/min. Soit évidemment débit d'entrée = débit de sortie. Soit en sortie une concentration mesurée en glucose de 78,0 g/L. Quel est la productivité (hors maintenance, démarrage, arrêt) ?

La réaction catalysée est :
saccharose + H₂O --> glucose + fructose.

78,0 g/L de glucose en sortie. Donc aussi 78 g/L de fructose en sortie. En définissant le produit de sortie intéressant comme la teneur totale en fructose et saccharose (l'inverti) soit 156 g/L, la productivité est de 156*20 = 3120 g/min soit 3120*60/1000 = 187 kg/h.

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Exemple 2. Soit un réacteur agité à béta-fructosidase immobilisée en fonctionnement par lots. L'enzyme est recyclée à la fin de chaque lot. Soit le réacteur chargé avec des lots de 1000 L de solution de saccharose à 150,0 g/L. Soit une durée de catalyse à chaque lot de 50 minutes (0,833 h). Soit en sortie une concentration mesurée en glucose de 78,0 g/L. Quel est la productivité (hors maintenance, démarrage, arrêt) ?

La réaction catalysée est :
saccharose + H₂O --> glucose + fructose.

78,0 g/L de glucose en fin de lot. Donc aussi 78 g/L de fructose. Le produit de sortie intéressant est la teneur totale en fructose et saccharose (l'inverti) soit 156 g/L. Ainsi un lot (batch) produit : 156*1000 = 156000 g de produit soit 156 kg de produit et ce en 0,833 h (50 minutes). La productivité est donc de 156*0,833 = = 187 kg/h.

On pourrait calculer aussi une productivité volumique horaire à 187/1000 = 0,187 kg.h^-1.L^-1d'installation. Soit 187 kg.h^-1.m^-3d'installation.

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4.3 Dans les procédés alimentés/soutirés (continus) : temps de résidence et fréquence de renouvellement et relation avec le taux de conversion

Soit des procédés continus comme figurés ci-dessous :

4.3.1 On peut définir un temps de résidence τ pour la catalyse :

• Pour le réacteur en cuve agitée mis en fonctionnement continu. τ = V/F.
• Pour le réacteur colonne en fonctionnement continu, τ est défini comme la durée nécessaire à la traversée du réacteur depuis l'entrée à la sortie. Si on connaît le volume V de phase liquide dans la colonne de réacteur (donc en dehors du volume support pour l'enzyme immobilisée) on peut poser τ = V/F.

Exemple. Soit un réacteur en cuve agitée de 1000 L de contenu alimenté en continu à 8,33 L par minute (8,33 L par minute c'est 8,33*60 = 500 L ). Quel est le temps de résidence ?
τ = 1000/8,33 = 120 minutes. Ou τ = 1000/500 = 2h. On le comprenait très bien intuitivement.

4.3.2 Au lieu de donner le temps de résidence τ pour la catalyse dans un réacteur réservoir agité alimenté et soutiré en continu, on peut préférer donner la fréquence de renouvellement :

• f=F/V=1/τ.

Exemple. Soit un réacteur en cuve agitée de 1000 L de contenu alimenté en continu à 8,33 L par minute (8,33 L par minute c'est 8,33*60 = 500 L ). Quel est le temps de résidence ?
τ = 1000/8,33 = 120 minutes. Ou τ = 1000/500 = 2h. et
f=8,33/1000=0,00833 min^-1 (pas très parlant) mais aussi f=500/1000=0,5 h^-1. Le bioréacteur est renouvelé à 1/2 chaque heure (assez parlant).

Note. C'est facile à retenir. Il suffit de regarder la grandeur (temps ou temps^-1) et de penser fréquence ou période comme en physique.

4.3.3 τ=f(T_x)) ou T_x=f(f)

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