5. Modélisations

Pour ceux qui aiment mettre un peu de maths...

5.1 Cas d'un réacteur agité à fonctionnement discontinu (BSTR) et d'une réaction irréversible à cinétique michaelienne sans aucune inhibition ni par le substrat ni par le produit

A chaque instant t, on peut écrire :

(S : concentration en substrat à t, S0 : concentration en S initiale à t0), Vmax : vitesse maximale (asymptotique) à saturation par S, Km : constante de Michaelis pour S).

\( -\cfrac {dS}{dt} = V_{max} \cfrac {S}{K_m+S} \)

Qu'il va falloir intégrer. On reprend sous la forme :

\( -\cfrac {K_m + S}{S}dS = V_{max} dt \)

Donne :

\( \left( {-\cfrac {K_m}{S} - 1 } \right) dS = V_{max} dt \)

Devient :

\( \int_{S_0}^S \left( {-\cfrac {K_m}{S} - 1 } \right) dS = \int_0^t V_{max} dt \)

Devient :

\( - \int_{S_0}^S \left( {\cfrac {K_m}{S}} \right) dS - \int_{S_0}^S dS = \int_0^t V_{max} dt \)

Et on obtient, puisque une primitive de 1/x est ln(x) et puisqu'aux conditions initiales S = S0 à t0 :

\( - K_m ln \left( { \cfrac {S}{S_0}} \right) + (S_0 - S) = V_{max}t \)

Soit le temps t nécessaire pour passer de S0 à S (on pourra ainsi choisir le S voulu en fin de procédé)

\( t= \cfrac { - K_m ln \left( { \cfrac {S}{S_0}} \right) + (S_0 - S) } {V_{max} } \)

CQFD. On choisit jusqu'où on veut mener la transformation de S en P et on en déduit le temps de réaction nécessaire dans le bioréacteur. Pas mal ... Mais faut connaître Vmax et Km tout de même !

S dépend du temps, allure

5.2 Cas d'un réacteur agité en fonctionnement continu (CSTR) et d'une réaction irréversible à cinétique michaelienne sans aucune inhibition ni par le substrat ni par le produit

A faire.

5.2 Cas d'un réacteur à lit fixé en fonctionnement continu

A faire.

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