Pour ceux qui aiment mettre un peu de maths...
A chaque instant t, on peut écrire :
(S : concentration en substrat à t, S0 : concentration en S initiale à t0), Vmax : vitesse maximale (asymptotique) à saturation par S, Km : constante de Michaelis pour S).
\( -\cfrac {dS}{dt} = V_{max} \cfrac {S}{K_m+S} \)Qu'il va falloir intégrer. On reprend sous la forme :
\( -\cfrac {K_m + S}{S}dS = V_{max} dt \)Donne :
\( \left( {-\cfrac {K_m}{S} - 1 } \right) dS = V_{max} dt \)Devient :
\( \int_{S_0}^S \left( {-\cfrac {K_m}{S} - 1 } \right) dS = \int_0^t V_{max} dt \)Devient :
\( - \int_{S_0}^S \left( {\cfrac {K_m}{S}} \right) dS - \int_{S_0}^S dS = \int_0^t V_{max} dt \)Et on obtient, puisque une primitive de 1/x est ln(x) et puisqu'aux conditions initiales S = S0 à t0 :
\( - K_m ln \left( { \cfrac {S}{S_0}} \right) + (S_0 - S) = V_{max}t \)Soit le temps t nécessaire pour passer de S0 à S (on pourra ainsi choisir le S voulu en fin de procédé)
\( t= \cfrac { - K_m ln \left( { \cfrac {S}{S_0}} \right) + (S_0 - S) } {V_{max} } \)CQFD. On choisit jusqu'où on veut mener la transformation de S en P et on en déduit le temps de réaction nécessaire dans le bioréacteur. Pas mal ... Mais faut connaître Vmax et Km tout de même !
A faire.
A faire.