Contrôle de l'acceptabilité des résultats d'essais, résultats sous conditions de répétabilité : table des facteurs d'étendue critique
Soit f(n) le fractile 0,95 de la distribution de (xmax - xmin)/σ pour une série de n mesures en conditions de répétabilité. Où xmax désigne le résultat maximum obtenu et xmin le résultat minimum obtenu et σ l'écart-type de la distribution normale des résultats. f(n) est appelé facteur d'étendue critique, et il prend les valeurs suivantes :
| n | f(n) | n | f(n) | n | f(n) | ||
| 2 | 2,8 (*) | 21 | 5,0 | 40 | 5,5 | ||
| 3 | 3,3 | 22 | 5,1 | 45 | 5,6 | ||
| 4 | 3,6 | 23 | 5,1 | 50 | 5,6 | ||
| 5 | 3,9 | 24 | 5,1 | 60 | 5,8 | ||
| 6 | 4,0 | 25 | 5,2 | 70 | 5,9 | ||
| 7 | 4,2 | 26 | 5,2 | 80 | 5,9 | ||
| 8 | 4,3 | 27 | 5,2 | 90 | 6,0 | ||
| 9 | 4,4 | 28 | 5,3 | 100 | 6,1 | ||
| 10 | 4,5 | 29 | 5,3 |
lors des tests d'acceptabilité, on aura,
CR0,95(n) = f(n) * σ |
|||
| 11 | 4,6 | 30 | 5,3 | ||||
| 12 | 4,6 | 31 | 5,3 | ||||
| 13 | 4,7 | 32 | 5,3 | ||||
| 14 | 4,7 | 33 | 5,4 | ||||
| 15 | 4,8 | 34 | 5,4 | ||||
| 16 | 4,8 | 35 | 5,4 | ||||
| 17 | 4,9 | 36 | 5,4 | ||||
| 18 | 4,9 | 37 | 5,4 | ||||
| 19 | 5,0 | 38 | 5,5 | ||||
| 20 | 5,0 | 39 | 5,5 | ||||
Soit une méthode de dosage dont on peut admettre que les résultats en répétabilité suivent une loi normale et dont la répétabilité a été établie à un écart-type σ. Soit un labo qui pratique la méthode de façon conforme.
Soit un échantillon à mesurer qui a donné 2 résultats x1 et x2 en conditions de répétabilité.
On peut dire que x1 est une variable qui suit une loi normale
de moyenne x1moy, de variance V(x1) et d'écart-type
σ(x1) (avec σ(x1) égale racine carré de
V(x1)).
On peut dire que x2 est une variable qui suit une loi normale de
moyenne x2moy, de variance V(x2) et d'écart-type
σ(x2) (avec σ(x2) égale racine carré de
V(x2)).
Et on a les relations fondamentales :
x1moy = x2moy = xmoy et
V(x1) = V(x2) = V(x) et
σ(x1) = σ(x2) = σ(x) et
les 2 variables x1 et x2 sont réputées
indépendantes en conditions de
répétabilité !!
Soit y la variable telle que y = x1 - x2 ; les
mathématiques montrent que :
y est une variable aléatoire qui suit une loi normale de
moyenne (d'espérance) : ymoy = x1moy - x2moy = xmoy - xmoy
= 0
et de variance V(y) = V(x1) + V(x2)
(en effet, pour 2 variables indépendantes, V(ax+by)
= a2V(x) + b2V(y); théorème
des variances des combinaisons linéaires de lois de
probabilités indépendantes ; pas de
covariance)
Soit finalement V(y) = V(x) + V(x)= 2 * V(x) Soit σ(y) =
racine carré de (V(y)) = √2 * σ(x)
Conclusion : la variable y = x1 - x2 suit une loi normale de moyenne 0 et d'écart type σ(y) = σ(x)*√2
Conclusion : il y a environ 95% de chances que |y|, c'est à dire |x1 - x2| soit inférieure à 1,96 * σ(y) ; c'est à dire 1,96*√2*σ(x) c'est à dire environ 2,8σ(x).
Voila l'origine de la valeur 2,8 dans les tables de CR95 quand on regarde l'accord entre 2 mesures en conditions de répétabilité. On pourrait après s'attaquer à la loi normale de proba pour la différence entre la plus grande et la plus petite valeur sur 3 déterminations, puis 4 ... mais là les calculs deviennent très complexes ! Mais on peut faire confiance à la table ci-dessus !!
Et pour ceux qui ne croient pas sans avoir vu, voici 2 fichiers pdf téléchargeables qui ont été réalisés par Alain Lasjaunias (prof. de maths, adresse du site = www.math.u-bordeaux.fr/~lasjauni/) et qui permettent de recalculer toute la table ! Attention, c'est pour matheux ... Merci Alain ... lasjaunias-maxln.pdf ainsi que lasjaunias-ecartln.pdf