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JF Perrin mise à jour 2020
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En version unilatérale, l'hypothèse nulle H0 est toujours celle qu'on a considéré en version unilatérale : les 2 échantillons proviennent d'une même population parente.
.
Mais en version unilatérale, on a dans la tête une idée alternative (H1) du type : "les valeurs de la variable dans la population A sont
statistiquement inférieures à celles dans la population B".
On se fixe un seuil de risque α rejet de H0
Soit Ux la variable de décision pour l'échantillon tiré de A. Soit Uy la variable de décision pour l'échantillon tiré de B. Si H1 est vraie, les valeurs de Ux seront inférieures à Uy, proches de zéro et la zone de rejet de H0 au rique α devra être cherchée dans un intervalle de valeur de Ux [0,Ucritic] tel que P(Ux ≤ Ucritc)=α. La zone de non rejet de H0 sera pur U ∈ ]Ucritic,nm/2].
Illustrons par un exemple en reprenant les données de l'exemple du paragraphe 0.3
Soit un lot A (n=11 valeurs xi) et un lot B non apparié (m=11 valeurs yi) mesurés pour la grandeur G
Lot A |
7,6 |
8,6 |
8,2 |
8,5 |
8,0 |
7,4 |
5,8 |
7,8 |
6,1 |
6,9 |
5,7 |
Lot B |
10,3 |
9,8 |
8,5 |
8,4 |
7,7 |
9,2 |
6,6 |
10,1 |
8,9 |
10,0 |
10,2 |
Imaginons que "l'idée de départ qui trottait dans la tête" était que les conditions en lot B conduisaient à un décalage positif des valeurs par rapport au lot A. Les diagrammes en boite à moustaches semblent favorables.
Le test unilatéral devient intéressant (dans le sens "valeurs en A décalées inférieures à valeurs en B").
L'hypothèse nulle, H0 : Les distributions de la variable dans les 2 populations A et B sont identiques.
L'hypothèse alternative H1 : Les valeurs de la variable dans la population A sont décalées inférieures par rapport à celles de la population B.
Soit F1(X) la fonction de répartition de X dans une population A et soit F2(X) la fonction de répartition de X dans une population B.
Les hypothèses du test sont :
\( H0~:~F1(X)=F2(X+\theta)~~~\theta = 0 \\ H1~:~F1(X)=F2(X+\theta)~~~\theta < 0 \\ où~~ \theta~est~le~décalage~entre~les~fonctions \)Dans l'exemple proposé, le calcul donne Ux = 16,5
En test unilatéral, en ne regardant qu'à "gauche" (inférieur) , au risque α=1% (0,01), pour n=m=11, la valeur critique de Ux est de 25. (cf. tables).
En test unilatéral, en ne regardant qu'à "gauche" (inférieur) , au risque α=5% (0,05), pour n=m=11, la valeur critique de Ux est de 34. (cf. tables)
On peut énoncer : "Les valeurs dans la population A sont décalées inférieures aux valeurs dans la population B, au seuil de risque α=0,01 (**) de se tromper.
On peut regarder ce que dit le langage statistique R pour le test de Mann-Whitney R en version unilatérale "less" en appliquant à notre exemple :
"W = 16.5, p-value = 0.002137"
"alternative hypothesis: true location shift is less than 0"
la p-value calculée par R à 0,0021 est bien < à 0,01 le seuil critique qu'on a considéré en lisant des tables classiques. Tout est cohérent.