calcul d'incertitude par l'exemple

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Comment évaluer les incertitudes des numératons bactériennes par les méthodes dénombrant des unités formant colonie (UFC). Etude d'un exemple simple.

1. Description du mesurage et relation fondamentale du mesurage

On suppose un échantillon liquide (eau, urine ...). Des dilutions en série de raison géométrique 1/10 sont réalisées (1 mL + 9 mL de diluant). Deux boîtes de culture sont ensemencées par dilution sous un volume de 1 mL. Après incubation, on compte les unités formant colonies.

Données concernant les dilutions réalisées et les inoculum :

5 dilutions en série de type 1 mL (a) ajouté à 9 mL (b) de diluant. d=a/(a+b)=1/10 ; f=10.

avec un matériel standard tel que

a = 1,00 mL (pas de biais) ; u_a = 0,01 mL <

b = 8,96 mL (biais de 0,04 mL) ; u_b = 0,2 mL

Les volumes inoculés sont de 1 mL (a) tel que a = 1,00 mL (pas de biais) ; u_a = 0,01 mL

Données concernant les résultats obtenus :

nombre de boites comptées 4	UFC comptées	volume inoculum "équivalent" v_i
dilution 10^-3 inoculum = 1 mL	40	1 mL
dilution 10^-3 inoculum = 1 mL	49	1 mL
dilution 10^-4 inoculum = 1 mL	3	0,1 mL de dilution 10^-3
dilution 10^-4 inoculum = 1 mL	7	0,1 mL de dilution 10^-3
	somme = n = 99	somme = V = 2,2 mL de dilution 10^-3 (F, facteur de dilution inverse = 10³ sans correction de biais = 9,96³ après correction)

Formule du mesurage :

[UFC] = n F / V

Application numérique :

[UFC] = 99 (9,96)³ / 2,2 = 44,46 10³ UFC/mL

2. Identification et analyse des sources d'imperfection dans le processus de mesure

C'est la formule du mesurage qui va nous donner le départ pour le recensement des sources d'imperfection (qui peuvent apriori jouer à la fois au niveau d'erreurs systématiques (biais à corriger) et au niveau de l'incertitude). A savoir :
n, F et V

Et ainsi on va commencer le travail en examinant chaque facteur d'influence de près en alliant imagination et une bonne connaissance du processus de mesure ... >Il va falloir associer une incertitude-type et éventuellement un facteur de correction à chaque facteur d'influence, puis combiner correctement ces incertitudes-types pour calculer l'incertitude-type globale.
La combinaison terminale ne sera pas complexe dans le cadre de l'exemple proposé puisque n, F et V sont des variables indépendantes.

Déterminer l'incertitude-type sur le volume V ne pose pas trop de problèmes. C'est par là qu'on va commencer. Il suffit de se rappeler que V provient de 4 volumes prélevés : deux prélèvement de 1 mL de dilution 10^-3 et deux prélèvements de 1 mL de dilution au 1/10 de cette dilution précédente. Selon ce qui a été écrit dans le paragraphe de description du mesurage appelont "a_i" les volume de 1 mL d'inoculation et nécessaires aux dilutions au 1/10 et "b_i" les volumes de 9 mL nécessaires pour réaliser les dilutions au 1/10. On peut écrire :
V = a₁ + a₂ + (a₃ + a₄)/ f

Avec facteur f = (a₅+ b)/a₅

Avec la remarque fondamentale suivante : les différentes variables a_i et bsont indépendantes.

V =

a₁

a₂

(a₃ + a₄)/ f

a₁ = 1 mL

a₂ = 1 mL

u_a₁ = u_a = 0,01 mL

u_a₂ = u_a = 0,01 mL

a₃ = 1 mL et u_a₃ = u_a = 0,01 mL

a₄ = 1 mL et u_a₄ = u_a = 0,01 mL

(u_{a₃ + a₄})² = (u_a₃)² + (u_a₄)² = 2 (u_a)²

f = 9,96 = (a₅+ b)/a₅

b = 8,96 mL et u_b = 0,2 mL

a₅ = 1 mL et u_a₅ = u_a = 0,01 mL

Le lien ici présent active une nouvelle ouverture de votre navigateur sur une page justifiant les formules posées pour (u_f)² . Consultez éventuellement puis refermez.

Donne après calcul
(u_{a₃ + a₄})² = 2 10^-4 et (u_f)² = 0,0481

On peut donc calculer u_V en appliquant la loi de propagation des écart-types dans ce cas simple de variables indépendantes. On obtient :

V =

a₁

a₂

(a₃ + a₄)/ f

u_V² =

u_a₁²

u_a₂²

[(a₃ + a₄) /f]² * [(u_{a₃ + a₄})²/ (a₃ + a₄)² + u_f²/f²)]

Le lien ici présent active une nouvelle ouverture de votre navigateur sur une page justifiant la formule posée ci-dessus : loi de propagation des écart-types dans le cas de variables indépendantes. Consultez éventuellement puis refermez.

u_V² =

0,01²

[2² /9,96²] * [(2 10^-4/2² + 0,0481/9,96²)]

u_V² =

0,0001

0,0000216

D'où V=2,2 mL avec u_V² = 0,000222 soit u_V = 0,0149 mL arrondi à u_V = 0,015 mL

On va maintenant se préoccuper du facteur de dilution 10^-3 : F = 9,96³. Ce qui sera simple.

Le lien ici présent active une nouvelle ouverture de votre navigateur sur une page justifiant la formule qui va être posée ci-dessous pour u_F. Consultez éventuellement puis refermez.

u_F² = F²k (u_f² / f²)

Avec k = 3 (on compte à partir de la troisième dilution de la série de raison 1/10)
Avec f = 9,96 (série de dilutions de raison a priori d=1/10, f=10. f=9,96 après correction de biais)
Avec u_f² = 0,0481 (cf. ce qu'on a vu avant pour les dilutions au 1/10 pratiquées).

D'où u_F² = 9,96³²3(0,0481 / 9,96²) = 1420

D'où u_F = 37,7 # 38

Et regardons maintenant le paramètre "nombre de colonies comptées" (n). Là, les affaires paraissent moins simples ... et on peut envisager plusieurs problèmes :
- q1 La question de l'aléa fondamental de type "loi de Poisson" sur n ;
- q2 La question du discernement des colonies plus ou moins différent selon les opérateurs : facteur t, t à déterminer, u_t à déterminer ;
- q3 La question du "rendement" du milieu à permettre des développements à l'identique de colonies : facteur y, y=1, y_s à déterminer ;
- q4 La question des variations en UFC liés au stockage de l'échantillon : facteur s, s=1, u_s à déterminer ;
- q5 La question d'une hétérogénéité de matrice au départ sur le type d'échantillon : facteur m, m=1, u_m à déterminer ;

Pour ne rien oublier, inscrivons toutes ces nouvelles problématiques dans le "diagramme initial des causes et des effets". On est ainsi conduit à un nouveau diagramme des "causes et des effets" associé à "une nouvelle formule du mesurage".

diagr. incertitude_2
Formule du mesurage :

[UFC] = (n F / V) * (t * y * s * m)
Et ainsi on va continuer le travail en étudiant chaque "nouvelle" source d'imperfection de près ... Il va falloir associer une incertitude-type et éventuellement une valeur à chaque source, puis combiner correctement ces incertitudes-types pour calculer l'incertitude-type globale.
La combinaison terminale ne sera pas complexe dans le cadre de l'exemple proposé puisque toutes les variables sont indépendantes.

Dans un premier temps de l'étude, on va supposer que les fateurs t, y, s, et m sont à 1 avec une incertitude-type à 0. On envisage uniquement l'aléa sur n. Et la question n'est pas si simple, elle demande une présentation dédiée. Celle si est disponible en activant le lien ici présent qui ouvre une nouvelle page de votre navigateur sur "loi de Poisson et dénombrements d'UFC".

On va utiliser en parallèle les 2 méthodes possibles.

Méthode "variance estimée de la loi de Poisson grâce au nombre d'UFC obtenu"	Méthode de la fonction G²
n = 99 UFC est obtenu d'une distribution de Poisson. Et comme dans la loi de Poisson la moyenne et la variance sont les mêmes, on peut dire que 99 est une estimation de la variance de cette distribution de Poisson. Ce qui donne un écart-type estimé vers √99 = 9,9. u_n = 9,9	Cette méthode nous donne l'incertitude-type sur l'ensemble n/V. Tout se passe comme si une nouvelle variable c=n/V était créée. Il s'agit alors d'obtenir u_n/V
On rappelle la formule du mesurage : [UFC] = n F /V Les 3 variables sont indépendantes. Donc en appliquant la loi de propagation des écart-types on obtient : *u_[UFC]² = (nF/V)² (u_n²/n² + u_F²/F² + u_V²/V²)** On a établi : n = 99 ; u_n = 9,9 F = 9,96³ ; u_F = 37,7 # 38 V = 2,2 mL ; u_V = 0,0142 mL # 0,015 mL	On rappelle la "nouvelle" formule du mesurage : [UFC] = c F Les 2 variables sont indépendantes. Donc en appliquant la loi de propagation des écart-types on obtient : *u_[UFC]² = (c F)² (u_c²/c² + u_F²/F²)** On peut montrer que : c = 99/2,2 = 45 UFC/mL ; u_c = 4,5 UFC/mL voir la démonstration (assez longue ...) et on a montré que : F = 9,96³ ; u_F = 37,7 # 38
[UFC] = 99 * 9,96³ / 2,2 = 44,46 10³ UFC/mL u_[UFC]² = ([UFC])² * (9,9²/99² + 38²/9,96^3² + 0,015²/2,2²) u_[UFC]² = ([UFC])² * 0,0115 u_{[UFC] =} 4,8 10³ UFC/mL # 5 10³ UFC/mL	[UFC] = 99 * 9,96³ / 2,2 = 44,5 10³ UFC/mL u_[UFC]² = ([UFC])² * (4,5²/45² + 38²/9,96^3²) u_[UFC]² = ([UFC])² * 0,0115 u_[UFC] = 4,8 10³ UFC/mL # 5 10³ UFC/mL

On a donc estimé l'incertitude-type sur le résultat. Il s'agit maintenant de donner un intervalle de confiance pour le résultat, par exemple un intervalle 95%. La question n'est pas simple puiqu'on va avoir à faire à un dissymétrie.

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Date de consultation : 17-03-2025